Transformaciones lineales

1.    Qué es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función que tiene como dominio y codominio espacios vectoriales, transforma a los vectores v en vectores w, esto quiere decir que convierte vectores de un espacio determinado a vectores de otro espacio determinado

2.    Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal

Como no todas las transformaciones son lineales, para que pueda ser considerada una transformación lineal se debe cumplir que;

- F(u+v) = F(u)+F(v) Es decir, la transformación de la suma de los vectores u y v debe ser igual a la suma de la transformación individual de cada vector

- F (α.v) = α.F(v) Es decir, la transformación del producto de un escalar por un vector debe ser igual a la transformación del vector multiplicada por el escalar

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Propiedad 1: La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo del codominio 0w:

 

T(0v) =0w

 

Demostración:

 

T(0v) =T (0.v) =0. T(v)=0. w=0W

 

Es decir, el producto del escalar cero por cualquier vector del espacio vectorial v será igual al producto del escalar cero por cualquier vector del espacio vectorial w

 

Propiedad 2: La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv:

 

T(–v) =–T(v)

 

Demostración:

T(–v) =T (–1. v)=–1. T(v)=–T(v)

 

Esto quiere decir que la transformación del opuesto del vector v es igual al opuesto de la transformación del vector v

Propiedad 3: Consideremos rr vectores del espacio vectorial VV:

 

v1, v2…, vr∈

 

Tomemos una combinación lineal en el dominio:

α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvrα

Donde αi∈Rα

Si aplicamos la transformación lineal T de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

 

T (α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr) =α1T(v1) +α2T(v2) +…+αrT

 

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.

 

Propiedad 4:

 

T (u – v) = T (u) – T(v)

 

 

Propiedad 5:

Sean 𝐹: 𝑉 → 𝑊 y 𝐺: 𝑉 → 𝑊 dos transformaciones lineales entre espacios vectoriales sobre el mismo campo. Se define a la suma de transformaciones lineales 𝐹 + 𝐺 como la transformación denotada por (T + 𝐺) (𝑣̅) = 𝐹(𝑣̅) + 𝐺(𝑣̅)

 

 

Si F y G son lineales, entonces 𝐹 + 𝐺 también es lineal.

𝑀𝐵 𝐴 (T + 𝐺) = 𝑀𝐵 𝐴(T) + 𝑀𝐵 𝐴(𝐺).

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Comprobar que la siguiente transformación T: R2 → R2 es lineal:

Solución

Para ello hay que asegurarse de que la transformación cumpla las dos condiciones descritas al comienzo, primero la de adición y luego la del producto de un escalar por un vector. Así que hay que tomar dos vectores v y  u pertenecientes a R2, escribiéndolos mediante la notación matricial o especificando las componentes.

Estos vectores son:

v = x1, y1

u = x2, y2

Primera condición

-Recordando que los vectores se suman componente a componente, se tiene que verificar que:

T (v+u) = T (v) + T (u)

T (v+u) = T (x1+ x2 ; y1 + y2)

De aquí se obtiene que:

T (x1+ x2 ; y1 + y2) = (x1+ x2; 0)

-Por el otro lado, al aplicar la transformación a cada vector por separado:

T (x1,y1) + T (x2,y2) = (x1,0) + (x2,0)

Al sumar los vectores resultantes se obtiene efectivamente:

w =  (x1+ x2; 0)

Como ambos resultados son idénticos, la primera condición se satisface.

5. Cómo probar esa transformación lineal.

Como se puede observar para realizar la comprobación de una transformación se deben cambiar los valores determinados en la función por los valores específicos de cada vector. Si al reemplazar los valores, los resultados de ambas operaciones es el mismo, se puede concluir que la transformación es lineal.

Como se observa en la imagen, para realizar la comprobación de la función, se debe reemplazar los valores en la función por cada uno de los valores específicos del vector. Luego se debe multiplicar el vector por cada uno de esos valores. Si el producto al multiplicar el escalar por el conjunto de valores es igual al producto de multiplicar el escalar por cada uno de los valores por separado, se puede concluir que la transformación es lineal.