Espacios vectoriales

 ¿Qué son los espacios vectoriales?

Los espacios vectoriales son conjuntos que poseen operaciones suma y operaciones producto por escalares, mismas que deben cumplir con determinadas propiedades. Los elementos de tal conjunto se llaman vectores

 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1.- Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma).
 2.- Para todo x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z)
 (Ley asociativa de la suma de vectores)
 3.- Existe un vector 0 Є V tal que para todo
 x Є V, x + 0 = 0 + x = x
 4.- Si x Є V, existe un vector –x en V tal que x + (–x) = 0
 (–x se llama inverso aditivo de x)
5.- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x.
 (Ley conmutativa de la suma de vectores).
 6.- Si x Є V y α es un escalar, entonces αx Є V
 (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
 7.- Si x y y estan en V y a es un escalar, entonces a(x + y) = ax + ay (Primer
 Ley Dsitributiva).
8.- Si x Є V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx
 (Segunda ley distributiva)

Qué es un subespacio vectorial.

un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Sea $V$$V$ un espacio vectorial y $W$$W$ un subconjunto no vacío de $V$$V$.$W$$W$ es un subespacio de $V$$V$ si $W$$W$ es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en $V$$V$.

1. S es linealmente independiente

1. S genera V.

La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).
Propiedad
Rango (A)= Rango (A^T)
Teorema de la dimensión
Si es una matriz A con n columnas, entonces:
Rango (A) + nulidad (A) = n

-Tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

Propiedad 1: 0 u = 0v
Propiedad 2: α 0v = 0v
Propiedad 3: (-α) u = -(αu)

-Cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Base: Si V es cualquier espacio vectorial y S ={v₁ ,v₂,…….v_n} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:
Dimensión, rango y nualidad:

La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).

Propiedad

Rango (A)= Rango (A^T)

Teorema de la dimensión

Si es una matriz A con n columnas, entonces:

Rango (A) + nulidad (A) = n